Provas matemáticas diretas

Na matemática, provas de argumentos são obtidas a partir de um processo de raciocínio lógico. Por mais criativo que possa ser esse processo, existem algumas “fórmulas” que podem ajudar no caminho. O primeiro passo é formular o argumento que requer uma prova. Isso é possível ao escrever uma proposição (afirmação) que só pode ter dois resultados possíveis: verdadeiro ou falso, nunca os dois juntos. Assim, é possível construir uma argumentação para chegar na conclusão se determinada proposição é verdadeira ou não. Seguem alguns exemplos de proposições:

  • $3$ é um número ímpar (proposição verdadeira)
  • $2 + 7 = 10$ (proposição falsa)
  • $3x + 5 = 10$ (não é uma proposição)
    • O motivo de não ser uma preposição é que a veracidade depende do valor de $x$
  • Existe um número real $x$ tal que $3x + 5 = 10$ (preposição verdadeira)
    • A expressão não é sobre $3x + 5 = 10$, mas sim sobre existir um $x$ que satisfaz a equação

Note que no último exemplo existe a especificação da classe de números (reais) a qual $x$ pertence. Essa parte é importante porque, se a mesma proposição indicasse apenas número inteiros, o resultado seria falso, visto que não existe um número inteiro que satisfaz $3x + 5 = 10$.

As proposições demonstradas até aqui são simples sentenças. Entretanto, existem outras formas de escrever proposições, sendo uma delas no formato Se $P$, então $Q$ ($P \rightarrow Q$). A ideia dessa proposição é que existe uma hipótese ($Q$) que precisa ser satisfeita para se chegar na conclusão ($Q$). Utilizando esse formato, é possível reescrever Existe um número real $x$ tal que $3x + 5 = 10$ da seguinte forma

Se $x$ é um número real, então existe um número $x$ tal que $3x + 5 = 10$

O detalhe é, como é possível atestar a veracidade de uma proposição $P \rightarrow Q$? Nesse caso é necessária uma tabela verdade.

$P$ $Q$ $P \rightarrow Q$
V V V
V F F
F V V
F F V

Note que apenas quanto $P$ é verdade e $Q$ é falso que a proposição $P \rightarrow Q$ é falsa. O motivo é que, a hipótese foi satisfeita, mas a conclusão foi falsa. No caso da hipótese ser falsa, não é possível atestar a veracidade da conclusão em função da hipótese, portanto a proposição deve ser verdadeira.

Como provar uma proposição

Para provar que uma proposição é verdadeira, é necessário construir uma prova. Para provar que é falsa, basta encontrar apenas um contra-exemplo. Portanto, antes mesmo de construir uma prova é comum existir um período de exploração do problema. A ideia é entender melhor a proposição e como pode-se chegar na prova. Alguns passos comuns desse processo envolvem:

  • Construção de exemplos
    • Pode ser que aqui um contra-exemplo apareça, o que é suficiente para invalidar a proposição
  • Formular questões e “afirmações” (conjecturas) sobre os exemplos explorados
  • Encontrar padrões que fazem parte de resultados (provas) conhecidas

Exemplo

Teorema: Se $n$ é um inteiro ímpar, então $n^2$ é um inteiro ímpar.

Exemplos:

  • $n = 1$, $n^2 = 1^2 = 1$
  • $n = 3$, $n^2 = 3^2 = 9$
  • $n = 7$, $n^2 = 7^2 = 49$
  • $n = -1$, $n^2 = (-1)^2 = 1$
  • $n = -9$, $n^2 = (-9)^2 = 81$

O Teorema parece ser verdadeiro, então é necessário construir uma prova. Para isso será usada uma tabela know-show para enumerar as etapas da prova.

Etapa Know Motivo
$P$ $n$ é um inteiro ímpar hipótese
$P1$ $n = 2r + 1$ para um número inteiro $r$ qualquer Definição de um número ímpar
$P2$ $n^2 = (2r + 1)^2$ Substituição
$P3$ $n^2 = 4r^2 + 4r + 1$ Álgebra
$P4$ $n^2 = 2(2r^2 + 2r) + 1$ Álgebra
$Q1$ $n^2 = 2q + 1$ Sendo $q = 2r^2 + 2r$
$Q$ $n^2$ é um inteiro ímpar Pela definição de um número ímpar
Etapa Show Motivo

Nas etapas elaboradas acima, o processo foi iniciado em $P$ e $Q$ que fazem parte do Teorema. Depois, $Q1$ dando uma estrutura de como provar que um número é ímpar (baseado na definição de um número ímpar). Em sequência as etapas de $P1$ até $P4$. Agora, com base nessa tabela, é possível construir uma prova direta escrita.

Teorema: Se $n$ é um inteiro ímpar, então $n^2$ é um inteiro ímpar.

Prova: Assumindo que $n$ é um número inteiro, provamos que $n^2$ é um inteiro ímpar. Pela definição de um número ímpar, $n = 2r + 1$, e seguindo com manipulação algébrica $$n^2 = (2r + 1)^2$$ $$n^2 = 4r^2 + 4r + 1$$ $$n^2 = 2(2r^2 + 2r) + 1.$$

Como os números inteiros são fechados em multiplicação e adição, $2r^2 + 2r$ deve ser um número inteiro. Portanto, $n^2 = 2q + 1$ para $q = 2r^2 + 2r$. Assim, provamos que se $n$ é um inteiro ímpar, então $n^2$ é um inteiro ímpar.

Referências