Olá, tudo certo!?

Hoje vamos trabalhar com a ideia de desenhar o símbolo do Batman com equações. Veremos alguns conceitos matemáticos que permitem fazer esse desenho. O desenho que eu vou demonstrar é um que fiz e talvez não seja com as melhores fórmulas nem a forma otimizada, mas acho que ele é bom um passo a passo sobre alguns conceitos da álgebra. O desenho é composto por retas, parábolas e círculos. A partir destes componentes básicos, aplicamos transformações e restrições no domínio da equação que formam o desenho. Para fazer o desenho vamos usar o Desmos (calculadora gráfica online).

Ao infinito e além: desenhando a cabeça do morcego com retas Link para o cabeçalho

Vamos começar pelos componentes mais simples que são as retas. Usamos três retas para desenhar a cabeça e as orelhas do morcego como pode ser visto da Figura 1.

A reta horizontal no meio tem equação $y = 6 { -0.5 < x < 0.5 }$

Os valores entre {} limitam os valores (domínio) de x na equação. Por exemplo, a equação só terá valores para y quando x estiver entre -0.5 e 0.5.

As duas retas inclinadas seguem uma intuição semelhante, mas tem equações diferentes. A reta da direita (laranja) pode ser desenhada com a equação $y = 2x + 5 {0.5 < x < 1} $ e a reta da esquerda com $ y = -2x + 5 {-1 < x < -0.5} $. É possível perceber que as equações são muito parecidas e agora vamos ver porque as retas podem ser desenhadas com as equações anteriores.

Por que as retas se comportam dessa forma? Link para o cabeçalho

Existem três retas (que eu conheço) que são super simples $ x = 1 $ (reta roxa na Figura 2), $ y = 1 $ (reta laranja na Figura 2) e $ y = x $ (reta preta na Figura 2). A reta $ x = 1 $ é uma reta vertical que passa por qualquer coordenada no eixo y, mas apenas na coordenada 1 no eixo x. A reta $ y = 1 $ é uma reta horizontal que passa em qualquer coordenada no eixo x, mas apenas na coordenada 1 do eixo y. A reta $ y = x $ é uma diagonal que passa em qualquer coordenada no eixo x e também em qualquer coordenada do eixo y.

As equações anteriores podem ser alteradas com transformações que mudam o comportamento da reta. Alterando $ y = x $ para $ y = x + 2 $ é possível perceber que a reta foi deslocada um pouco para cima, passando pelo eixo y no ponto (0, 2). Agora se alterar a reta para $ y = x - 5 $ é possível perceber que a reta foi deslocada um pouco para baixo passando pelo eixo y no ponto (0,-5). Isso demonstra que é possível construir uma reta apenas sabendo em qual coordenada ela passa pelo eixo y.

Pergunta: Como construir uma reta que passe no eixo y no ponto (0, 7)? Resposta: A equação para essa reta é $ y = x + 7 $.

As equações estão no formato $ y = mx + b $ sendo:

• b a coordenada y que corta o eixo y;
• m é a inclinação da reta.

Até mesmo a reta $ y = 1 $ está nesse formato, mas no caso dela $ y = 0x + 1 $ por isso $ y = 1 $ o 0x é porque ela não tem inclinação. A reta $ y = x $ também está neste formato, mas com a coordenada y com valor 0 porque ela passa pela origem.

A inclinação da reta é o quanto a reta muda em y em relação ao quanto a reta muda em x. Nas retas acima, exceto $ y = 1 $, é possível perceber que a reta tem inclinação 1. A inclinação 1 indica uma variação de 1 para 1 entre x e y, ou seja, ela move 1 em x e 1 em y. Como é possível descobrir a inclinação? Simples, mas é necessário saber 2 pontos onde reta passa e a equação $ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $. Utilizando os pontos (-7, 0) e (-6, 1) da reta $ y = x + 7 $ e aplicando-os na equação obtém-se $ m = \frac{1 - 0}{-6 - (-7)} = \frac{1}{-6 + 1} = \frac{1}{1} = 1 $ validando a inclinação (m) da equação $ y = x + 7 $.

Questão: Qual a equação de uma reta que tem $ m = \frac{2}{3} $ e passa no eixo y no ponto (0, -9)?

Resposta: A equação é $ y = \frac{2}{3}x + 3 $.

Questão: Qual a equação de uma reta que passa pelos pontos (0, 3) e (3, 13)?

Resposta: A inclinação é $ m = \frac{3 - 13}{0 - 3} = \frac{-10}{-3} = \frac{10}{3} $ e a reta é $ y = \frac{10}{3}x - 9 $.

Obtendo o sinal de parabólica: desenhando as asas com parábolas Link para o cabeçalho

As asas do morcego são desenhadas com seis parábolas. São duas parábolas para a parte superior e duas para a parte inferior demonstradas na Figura 3.

A equação da parábola superior esquerda é $ y = \frac{1}{4} (x + 5)^2 + 3 { -9 < x < -1 } $ e a equação da parábola superior direita é $ y = \frac{1}{4} (x - 5)^2 + 3 { 1 < x < 9 } $. As equações para as parábolas inferiores da esquerda são respectivamente $ y = -\frac{1}{4}(x+5)^2 { -9 < x < -3 } $ e $ y = -(x + 2)^2 { 0 > x > -3 } $. As equações para as parábolas inferiores da direita são respectivamente $ y = -(x - 2)^2 { 0 < x < 3 } $ e $ y = -\frac{1}{4}(x - 5)^2 { 3 < x < 9 } $. Da mesma forma que as retas, é possível perceber que as parábolas são semelhantes em alguns pontos e parecem seguir um padrão.

Por que as parábolas se comportam dessa forma? Link para o cabeçalho

A parábola mais simples é $ y = x^2 $ (parábola vermelha na Figura 4) e as demais parábolas são criadas aplicando transformações nessa parábola. As parábolas possuem (da mesma forma que as retas) uma intercepção em y (ponto que passa pelo eixo y). Também é possível notar uma intercepção em x (ponto que passa pelo eixo x). As parábolas podem ter 1, 2 ou nenhuma intercepção em x como nos exemplos a seguir:

• $ y = x^2 + 2 $ (parábola verde na Figura 4) não possui intercepção em x (não passa nenhuma vez pelo eixo x).
• $ y = x^2 - 2 $ (parábola azul na Figura 4) possui duas intercepções em x (passa duas vezes pelo eixo x).

As transformações acima são semelhantes as aplicadas na reta, adicionando um termo sem variável na equação move o resultado no eixo y.

As parábolas também podem ser movimentadas na horizontal pelo eixo x e para isso é necessário alterar o termo $ x^2 $. Para mover a parábola 2 unidades para a esquerda $ x^2 $ é alterado para $ (x + 2)^2 $ (parábola verde na Figura 5). Para mover a parábola 2 unidades para a direita $ x^2 $ é alterado para $ (x - 2)^2 $ (parábola azul na Figura 5). Outra propriedade que pode ser percebida é que todos os movimentos efetuados até o momento mudaram a posição do vértice da parábola. Portanto, apenas olhando para a equação $ y = (x + 2)^2 - 2 $ é possível dizer que o vértice da parábola está no ponto (-2, -2). Dessa forma, podemos mover a parábola pensando apenas onde deve ficar o vértice.

Além de movimentar a parábola, também é possível alterar a sua largura. Essa propriedade é controlada pelo coeficiente de $ x^2 $. Para que a parábola seja mais larga, deve-se diminuir o coeficiente de $ x^2 $. Por exemplo, $ y = \frac{1}{4}x^2 $ (parábola roxa na Figura 6) e $ y = \frac{1}{2}x^2 $ (parábola azul na Figura 6). Para que a parábola seja mais estreita, deve-se aumentar o coeficiente de $ x^2 $. Por exemplo, $ y = 2x^2 $ (parábola laranja na Figura 6) e $ y = 4x^2 $ (parábola preta na Figura 6).

Além da espessura da parábola, o coeficiente de $ x^2 $ também controla a direção da parábola. Com um coeficiente positivo ($ y = 5x^2 $), a parábola abre para cima (parábola vermelha na Figura 7) e com um coeficiente negativo ($ y = -5x^2 $) a parábola abre para baixo (parábola azul na Figura 7).

Correndo atrás do próprio rabo: desenhando as laterais das asas com círculos Link para o cabeçalho

As laterais das asas podem ser desenhadas com dois meio círculos como pode ser visto na Figura 8.

A equação para o meio círculo da lateral esquerda é $ (x + 9)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 30 { -9 > x } $ e a equação para o meio círculo da lateral direita é $ (x - 9)^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = 30 { 9 < x } $.

Por que os círculos se comportam dessa forma? Link para o cabeçalho

A equação básica para um círculo é $ x^2 + y^2 = 4 $, sendo $ 4 = r^2 $. A partir dessa equação é possível explorar as mesmas propriedades que já vistas nas parábolas e retas. Para movimentar o círculo no eixo x, é preciso mudar a base de $ x^2 $. Por exemplo, a equação para movimentar o centro 2 unidades para a esquerda é $ (x + 2)^2 + y^2 = 4 $ (círculo verde na Figura 9) e a equação para movimentar 2 unidades para a direita é $ (x - 2)^2 + y^2 = 4 $ (círculo roxo na Figura 9). A mesma ideia vale para movimentar no eixo y. A equação para movimentar 2 unidades para cima é $ x^2 + (y - 2)^2 = 4 $ (círculo preto na Figura 9) e a equação para movimentar 2 unidades para baixo é $ x^2 + (y + 2)^2 = 4 $ (círculo laranja na Figura 9).

Também é possível controlar o tamanho do círculo. Para isso, é necessário alterar o termo do lado direito da equação ($ r^2 $). Por exemplo, a equação $ x^2 + y^2 = 9 $ (círculo azul na Figura 10) desenha um círculo maior que a equação $ x^2 + y^2 = 5 $ (círculo vermelho na Figura 10).

É isso por hoje. Abraços e até a próxima :D.